参数化的扭曲度量

扭曲(Distortion)在参数化中无处不在，但对扭曲进行度量是有必要的，它能帮助我们衡量不同参数化之间的利弊，也能够帮助我们得到一个满足特定最优条件的参数化。其中，最普遍的方法是使用雅可比矩阵(Jacobian Matrix)的奇异值来度量扭曲。在不少能量优化的方法中，构建一个以奇异值为自变量的能量函数是其最基本的一步。下面就二维曲面的三角参数化来介绍上述度量的定义和计算。

微分几何定义

我们假设参数域上点对应原曲面上一点。我们在和方向的移动一个小变量与，那么对应曲面上新的点可以通过在附近的的一阶泰勒展开来近似：

上述式子用雅可比矩阵形式即可写作：

其中。对雅可比矩阵进行SVD分解，即可得到奇异值和：

离散定义

一个比较容易理解和计算的雅可比矩阵的定义就是，以原网格和参数域上对应三角形之间2×2的线性变换矩阵作为其雅可比矩阵（对于不在同一平面的情形，可将其旋转+平移变换到相同平面上再作比较）。令原网格上的点为，参数域上的点为，则三角形对应的雅可比矩阵满足：

之后，再对进行SVD分解，即可得到离散情形下对应的奇异值和

奇异值的几何意义

要考察奇异值和的几何意义，我们可以考察是如何将参数域上的点及其领域变换到原曲面上点及其领域的：

由图可以非常直观地看出，和相当于参数域某点及其领域在拉回到原曲面时，在两个正交方向上的拉伸比例。我们可以根据和来定义一些比较常见的保测度的参数化：

• 若，则为等距映射（保长度），因为这时的雅可比矩阵等效于一个刚性的旋转矩阵；
• 若，则为共形映射（保角度），因为在两个正交方向上的拉伸比例一致，拉伸前是标准圆则拉伸后也是标准圆；
• 若，则为等积映射（保面积），根据圆和椭圆的面积公式可知，拉伸前后面积不会发生改变。

并且也可以明显地看出，保长度=保角度+保面积。

常见能量定义

名称	定义
As-Similar-As-Possible
As-Rigid-As-Possible
Green-Lagrange
Symmetric Dirichlet